原问题 ：白矮星约莫有多大？《张背阴的白矮物理课》合计白矮星的半径

白矮星单靠简并压可能抵抗引力的挤压吗？白矮星的半径奈何样合计？9月1日12时，《张背阴的星约物理课》第一百六十九期开播，搜狐独创人 、多大的半董事局主席兼CEO
、张背物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，物理先给网友们温习了星球外部的课合流体静失调方程的推导，而后用其估算了白矮星中间的计白径压强  ，并将此压强与电子简并压作比力，矮星患上到了白矮星晃动失调时的白矮半径公式
。

张背阴还经由图示剖析了在甚么情景下电子简并压会无奈抵御引力的星约缩短，从而使患上恒星最终演化成中子星概况黑洞。多大的半最后，张背张背阴合成了一个太阳品质的物理白矮星其电子所占有的空间远远大于原子核尺寸，从而确定了一个太阳品质的课合白矮星简直可能晃动存在 。

推导星球的计白径流体静失调方程 估算白矮星中间压强

为了合成白矮星的压强 ，张背阴介绍了在从前的直播课中教学过的流体静失调方程。星球的流体静失调方程是形貌在失调形态下星球外部压强若何随半径变更的。为了患上到这个方程，可能在星球外部取一个沿径向的柱体微元 ，假如它的底面积是dS ，高是dr ，微元到星球中间的距离是r 。在径向倾向，微元受到三个力的熏染：星球外部物资对于微元的引力、微元高下底面受到的压力 。还需要知道的是，平均球壳对于外部是不引力熏染的，因此不用思考距离中间大于r的物资都微元的引力 。

设微元上底面压强是(P+dP)，下底面压强是P，取沿径向指向外的倾向为正方面，前述三个力知足的失调条件为

其中ρ(r)是距离中间r处的密度，M(r)是距离中间小于r的物资份量 。上式可能化简为

以是

这便是星球的流体静失调方程。假如星球外部物资所提供的压强小于这个方程给进去的压强，那末这个星球会被引力进一步缩短；假如外部物资提供的压强盛于这个方程给进去的压强，那末这个星球会坚持引力的缩短而向外缩短 。假如星球最后抵达了失调
，其外部压强扩散确定知足上式。不外需要夸张的是，上述方程不思考狭义相对于论的更正 ，因此不适用于那种具备极强引力的天体，好比中子星 。对于白矮星，上述方程是可能运用的。

（张背阴推导流体静失调方程）

在星球概况，由于不外部的力压迫星球概况物资 ，因此概况的压强P(R)=0，这里的R是白矮星半径。当半径r趋向于零时，物资密度ρ(r)趋向于白矮星中间密度ρ(0)，它是一个有限值。另一方面，当r趋向于零时，有

因此有

这剖析压强扩散在白矮星中间处的梯度为0 ，同时也可能知道，压强在中间处具备有限值P(0)。以是，随着半径r从零变更到R，压强从一个有限值P(0)飞快着落了一小段
，而后再较快捷果真降到0 。接下来估算一下半径r=R/2处的压强随半径的变更率 ，假如白矮星中间处的压强为Pc ，那末有

另一方面，凭证流体静失调方程 ，有

由于球体体积正比于半径的三次方，因此假如白矮星密度平均的话，M(R/2)会即是M/8 。可是，由于星球的密度艰深都不是平均的，而是内大外小，因此M(R/2)每一每一大于M/8。在这里，张背阴将M(R/2)估算为M/3
。而后
，ρ(R/2)约即是星球的平均密度 ，这样就能患上到

综合前面的服从可能患上到

化简可患上

这便是白矮星中间处的压强估算值。

（张背阴估算白矮星中间压强）

合成白矮星中间处的电子简并压 求白矮星半径

在以前的物理直播课中，张背阴推导了电子气体在近零温的情景下的简并压为

其中，n是电子的数密度 ，m_e是电子品质。

假如白矮星中间处的电子数密度是平均电子数密度的α倍 ，漠视白矮星中的非氢原子核，那末白矮星中的电子数约即是质子数 ，以是可能用总品质除了以质子品质mp患上到总的电子数 。以是，白矮星中间处的电子数密度为

将其代入电子气体的简并压公式 ，可能患上到中间处电子简并压为

又由于

以是有

设知足流体静失调时的中间压强为Pg，凭证前面的估量，有

当品质M牢靠时，Pg与Pd随半径R的变更如下图所示：

可见，Pg与Pd都随着半径R增大而减小，可是Pd着落患上愈加快捷
 。Pg与Pd两者的曲线存在一个交点，对于应半径R0。当RPg
，换言之，中间处的电子简并压大于坚持流体静失调所需的中间压强，因此这个白矮星会被电子简并压推着往外缩短，从而R会变大；当R>R0时，Pd

以是

这便是白矮星半径的估算值。

合成一个太阳品质的白矮星的情景

凭证前面估算的白矮星半径的表白式，可能知道 ，白矮星品质越大，其半径越小。当M大到确定水同样艰深艰深 ，白矮星不论被缩短到多小，其中的电子气体都无奈提供饶富的简并压用以抵抗引力的缩短（这时候需要运用相对于论情景下的电子简并压公式来合成） ，最终白矮星会被引力不断地缩短 ，直至每一个电子所占有的空间很小 ，电子会与质子反映酿成中子
，最终这颗白矮星会酿成一其中子星，并依靠中子简并压来与引力抵达失调（假如初始品质很大体使于中子简并压也无奈抵御引力
，那末它将会酿成黑洞）。白矮星的品质下限约莫为1.44个太阳品质 ，最后由钱德拉塞卡合计患上到。

既然钱德拉塞卡极限是1.44个太阳品质，那末一个太阳品质的白矮星是可能晃动存在的，张背阴用实际合计合成了一个太阳品质的情景 。

假如白矮星中间的电子数密度是平均电子数密度的两倍，那末α=2，因此

此处略写了β的单元，惟独要知道上式的单元都运用国内单元制的根基单元即可
，不k、m这些展现量级的前缀（kg除了外 ，由于千克自己是一个根基单元，克是导出单元）。

因此一个太阳品质的白矮星的半径约为

此估算服从与实际服从比力挨近，因今前面的估算是公平的 。

一个太阳品质的白矮星的平均电子数密度约为

以是单个电子所占有的空间尺度约为

原子核的尺度在fm量级 ，因此单个电子所占有的空间远大于原子核的巨细
，因此电子打到核子的多少率颇为小，以是电子与质子反映成为中子（并释放出一其中微子）的多少率简直可能漠视不记。从这个角度来看，一个太阳品质的白矮星是晃动的。

（张背阴合计一个太阳品质的白矮星情景）

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